البرمجة الخطية
تعتبر البرمجة الخطية من المواضيع الأساسية والمهمة في بحوث العمليات التي تعتبر فرع من فروع علم الرياضيات التطبيقية، وتكمن أهميتها في كونها وسيلة لدارسة سلوك عدد كبير من الأنظمة، يقدم نموذج البرمجة الخطية طريقة كفؤة لتحديد القرار الأمثل (أو الاستراتيجية المثلى) من بين عدد كبير من البدائل، التي يخضع كل منها إلى مجموعة من المحددات والقيود، وبشكل يساهم بتحقيق أهداف الإدارة. وهي أداة بيانية ورياضية تهتم ببناء النماذج الرياضية لمشكلة من المشاكل بإحدى الطرق الآتية: الطريقة البيانية، الطريقة المبسطة، طريقة النقل، طريقة التعيين والتخصيص.
وتعد البرمجة الخطية إحدى الوسائل المهمة في حل كثير من المشاكل الإدارية والاقتصادية والعسكرية، وقد ازداد تطبيقها في الآونة الأخيرة نظراً للتقدم التكنولوجي الذي ساعد على تطوير الحسابات والإلكترونية المستخدمة في حل مشاكل البرمجة.
تم تطويرها واستخدامها بشكل فعلي عام ١٩٤٧م على يد العالم الرياضي جورج دانتزنغ (Dantzing George)، لحل بعض مشكلات التخطيط في سلاح الجو الأمريكي، في حين أن العالم الرياضي الفرنسي جين بابتسيتي فورير (Jean BaptiseFourier) قد تنبه لمساهماتها المحتملة في عام ۱۹۲۳م .
وقدكان أول استخدام أو تطبيق للبرمجة الخطية من قبل الاقتصادي جورج ستلجر (George Stigler)، وذلك في بداية الأربعينات، حيث هدف إلى تحديد مكونات الغذاء اليومي والتي ستزود الجسم بالحد الأدنى من احتياجاته من الفيتامينات والحديد والمواد الأخرى، وبأقل تكلفة ممكنة.
تعريف البرمجة الخطية
يمكن تعريف البرمجة الخطية بأنها: أسلوب رياضي لتوزيع مجموعة من الموارد والإمكانات المحدودة على عدد من الحاجيات المتنافسة على هذه الموارد ضمن مجموعة من القيود والعوامل الثابتة بحيث يحقق هذا التوزيع أفضل نتيجة ممكنة، أي يكون توزيعها أمثل.
إن تعبير البرمجة يعني وضع خطوات لحل مسالة أو موضوع ما لبلوغ وتحقيق هدف معين، أما تعبير خطية فيعني افتراض تغير الظاهرة التي نقوم بدراستها بصورة خطية (على شكل خط مستقيم)، وكثيراً ما يستخدم هذا الافتراض لتقريب الواقع إلى صياغة رياضية سهلة.
ومما تجدر الإشارة إليه هو أن الغاية من تطبيق أسلوب البرمجة الخطية هي الوصول إلى حل نموذج البرمجة الخطية (ونموذج البرمجة الخطية هو عبارة عن مجموعة من المعادلات والمتباينات بالإضافة إلى دالة الهدف)، ولا ننسى أن لكل مجموعة من المعادلات حلاً، وعادة ما تكون للمعادلات الآنية حلول أي إيجاد قيم المتغيرات، وفي حالة حل نموذج البرمجة الخطي دائماً نسعى إلى إيجاد الحل الأمثل وتكون الحلول على ثلاثة أنواع، هي:
- الحل: وهو حل ممكن الوصول إليه في أية مجموعة من المعادلات.
- والحل الممكن: وهو الحل الذي يمكن إيجاده بعد التوصل إلى الحل في الحالة الأولى وهذا الحل يحقق القيود كافة بشكل عام.
- الحل الأمثل: وهو الحل الذي يمكن إيجاده بعد التوصل إلى الحل الممكن، وهذا الحل يحقق القيود كافة بوجود دالة الهدف.
وبهذا الصدد يجب التأكد من أن الحل الممكن لا يتحقق بعد وجود الحل، ولا يمكن تحقيق الحل الأمثل إلا بعد أن يتحقق الحل الممكن.
متطلبات استخدام نموذج البرمجة الخطية
تتطلب مشكلة البرمجة الخطية خمس خصائص أساسية، هي:
- تحديد الهدف: أي ما تسعى لتحقيقه وهو إما زيادة الأرباح أو تقليل التكلفة، معبر عنه بصيغة رياضية يطلق عليها دالة الهدف وتصاغ دالة الهدف بالشكل التالي:
حالة التعظيم : Max Z= 2X+3Y
حالة التدنئة: Min Z= 2X+3Y
- توفر عدد من البدائل: تستخدم البرمجة الخطية عندما تكون لدينا بدائل لحل المشكلة فإذا كان هناك بديل واحد لحل المشكلة فلا داعي لاستخدام البرمجة الخطية.
- محدودية الموارد: نحتاج لاستخدامها عندما تكون الموارد محدودة (نادرة) كالموارد البشرية، أو المواد، أو ساعات اشتغال الآلات وهي بمثابة شروط لتحقيق الهدف، فإذا كان لدينا ۳۰۰ ساعة في القسم الأول وكنا نحتاج لساعتين لإنتاج المنتوج الأول وثلاثة ساعات لإنتاج المنتوج الثاني، فيعبر عن المشكلة كالأتي: 2X1+ 3X2 ≤ 300
- وجود علاقة خطية: الخطية في البرمجة يجب أن تتوفر في دالة الهدف وفي القيود (الموارد)، بحيث أن أي تغير في كميات الإنتاج يؤدي إلى زيادة الأرباح أو تقليل التكاليف بشكل خطي (طردي) مع زيادة كمية الإنتاج، وكذلك الموارد تستنفذ بشكل خطي مع زيادة كمية الإنتاج.
- القيود غير السالبة: إن هذا الشرط يلبي إحدى فرضيات البرمجة وهو شرط عدم السلبية. ولذلك لا يمكن أن يكون أحد القيود ينتج متغيرات سالبة.
فروض نموذج البرمجة الخطية
تمثل الافتراضات، الشروط العلمية الواجب توفرها في المشكلة حتى نستطيع حلها بواسطة البرمجة الخطية، أو هي المتطلبات الفنية لمشكلة البرمجة الخطية، وهي;
- يفترض النموذج إمكانية النسبة و التناسب في كل مكوناته (دالة الهدف والقيود الفنية).
- تحقيق خاصية الجمع التي تعني أن القيمة الكلية لأي مؤشر ما هي إلا حاصل جمع قيمة الجزئية.
- يعالج نموذج البرمجة الخطية الحالات المتصفة بالتأكد التام، وهذا يعني أن القيم التي تأخذها مؤشرات النموذج هي كلها قيم محددة ومعروفة ولا يطرأ عليها تغيير خلال فترة الدراسة.
وهناك فروض أخرى لنموذج البرمجة الخطية منها ما يلي:
- الخطية: يشترط أن تكون العلاقة في دالة الهدف والقيود علاقة خطية.
- المحدودية: محدودية الموارد والأنشطة، أي أن هناك ندرة فيها وأنه لا يوجد عدد نهائي من الأنشطة البديلة والموارد المتاحة.
- عدم السلبية: عدم إمكانية أن يكون حجم النشاط سالباً.
- الاستقلالية: أن اختيار أي نشاط لا يستلزم بالضرورة اختيار نشاط آخر، أي استقلالية عناصر الانتاج.
مجالات استخدام البرمجة الخطية
- تستخدم البرمجة الخطية في كل المسائل الاقتصادية التي تهدف إلى البحث عن قيم المتغيرات الاقتصادية بهدف إيجاد أمثلية الاستخدام في وجود مجموعة من القيود المالية أو التقنية أو هما معاً.
- ومن المواضيع التي تستخدم فيها البرمجة الخطية هي مجالات العلوم الاقتصادية والمالية ، والتجارية كما يلي :
- في حالة التعظيم: تعظيم الأرباح؛ تعظيم الإنتاج؛ تعظيم طاقات التخزين؛ تعظيم استخدام رؤوس الأموال؛ تعظيم استخدام اليد العاملة. وغير ذلك من المسائل الواقعية التي يكون هدفها التعظيم.
- في حالة التدنية: تدنية التكاليف؛ تدنئة الخسائر؛ تدنئة عدد الموظفين؛ تدنئة الأجور الاجمالية.
- كما تستخدم في الكثير من مجالات الإدارة وغير ذلك من المسائل الهادفة إلى عقلنة استخدام الموارد.
- وللبرمجة الخطية تطبيقات عديدة ظهرت وما تزال تظهر كل يوم لحل الكثير من المشكلات في عالم الأعمال منها :
- التطبيقات التسويقية: مثل اختيار وسائط الإعلانات، وبحوث التسويق.
- التطبيقات المالية: مثل التخطيط المالي، تحليل الأوراق والأسهم المالية، أو اختیار المحفظة الإستثمارية.
- تطبيقات إدارة الإنتاج: مثل الإنتاج المختلط (المزيج الإنتاجي)، تخطيط الإنتاج، النقل والتخصيص، أو قرار الشراء أو الصنع.
- مشاكل المزج.
- مشاكل تخطيط المشروعات: وغيرها من التطبيقات التي كان للبرمجة الخطية فيها دوراً في منظمات الأعمال من أجل حل المشكلات التي تواجه المنظمة
صياغة أو بناء نموذج البرمجة الخطية
إن صياغة مشكلة إدارية معينة بشكل مسألة برمجة خطية تقتضي كما أشرنا سابقاً تطوير نموذج رياضي يمثل الحالة أو المشكلة الإدارية، وبهذا فإنه يجب فهم الموقف الإداري أو المشكلة فهماً دقيقاً وهي الخطوة الأولى لحلها. وصياغة نموذج البرمجة الخطية يمكن أن تجمل خطواته بالآتي:
- الفهم الكامل والدقيق للمشكلة الإدارية التي يواجهها المدير.
- تشخیص دالة الهدف والقيود المحددة.
- تحديد متغيرات القرار.
- استخدام متغيرات القرار في كتابة التعبيرات الرياضية لكل من دالة الهدف والقيود.
ومن أجل صياغة نموذج البرمجة الخطية يجب توفر ثلاث مجموعات من العناصر الأساسية، وهي:
- تحديد الهدف بصورة كمية: ويعبر عنه بدالة الهدف وهي عبارة عند الدالة المطلوب تعظيمها أو تدنيتها وهي عادة ما تكون في صورة نقدية أو طبيعية ويتوقف ذلك على طبيعة المشكلة المطلوب تحليلها ويجب أن يكون بالإمكان، كأن يكون الهدف تحقيق أكبر ما يمكن من الربح أو تأمين أصغر ما يمكن من التعبير عن الهدف كمياً الكلفة أو توفير أعظم ما يمكن من الوقت والجهد.
- تحديد القيود: يجب أن تكون الموارد المتاحة محددة، كما يجب أن تكون تلك الموارد قابلة للقياس ويتم التعبير عنها بصيغة رياضية على شكل متراجحات أو معادلات، أو خليط منها وتسمى بالقيود الهيكلية.
- شرط عدم السلبية: إذ يجب أن تكون المتغيرات القرارية في المشكلة قيد الدراسة متغيرات موجبة أو صفرية وغير سالبة.
